Применение метода конечных элементов в строительстве

Для решения физических и инженерных задач при проектировании несущих конструкций многоэтажных сооружений в строительной отрасли принято использовать численные методы. Одним из самых распространенных и эффективных из них как в России, так и во всем мире является метод конечных элементов (МКЭ). Ведущее положение этого метода объясняется широкой областью и относительной простотой его применения: независимостью расчета от типа конструкции и физических свойств применяемых материалов, упрощенной системой учета взаимодействия расчетных конструкций с окружающей их средой, возможностью автоматизации расчета на любом его этапе.

История появления метода конечных элементов

Метод конечных элементов в строительстве впервые на практике был использован в начале 50-х годов двадцатого века. Изначально его развитие происходило в двух независимых друг от друга направлениях: инженерном и математическом. На раннем этапе становления формулировки метода отталкивались только от принципов строительной механики, и это существенно ограничивало область его применения. И лишь после формулировки основ МКЭ с возможностью небольших отклонений, стало возможным его использование и в решении других задач. Активному развитию метода конечных элементов способствовал и прогресс в области компьютерной техники, а также появляющаяся возможность его использования в большинстве областей науки и практики.

Этапы развития метода:

1.  В развитии метода конечных элементов свои роли сыграли как вариационные основы механики, так и математические методы, которые были основаны на вариационных принципах. Разбитие задачи с помощью вариационного метода Ритца было впервые применено Рихардом Курантом в 1943 году, и только в 50-е годы двадцатого века увидели свет такие же работы других ученых (Поли, Герша и других).

2.  Весомый вклад в развитие метода был сделан Джоном (Иоаннисом) Аргирисом. Именно он к расчету стержневых систем применил матричную формулировку на базе основных энергетических принципов, определил матрицу податливости и обратную ей матрицу жесткости. Научные труды Аргириса и его коллег, которые были опубликованы с 1954 по 1960 годы, стали отправной точкой для матричного отображения известных в то время численных методов и позволили применять их с помощью электронно-вычислительных машин для расчетов конструкций.

3.  Современная концепция метода была изложена группой американских ученых (Тэрнером, Клаффом, Мартином и Топпом) в 1956 году. Они, решая задачу теории упругости на плоскости, применили новый элемент треугольной формы и сформировали для него не только матрицу жесткости, но и вектор узловых сил. Название же метода конечных элементов, под которым его знают и по сей день, ввел в действие ученый Клафф в 1960 году. В следующее пятилетие после этого было опубликовано множество работ по нахождению конечных элементов для двумерных и трехмерных конструкций, среди авторов следует отметить таких ученых, как Р. Мак-Лей, Р. Мелош, Дж. Бесселин, Ф. де Веубеке, М. Джонс, Т. Пиан. В 1967 году увидела свет и первая монография, посвященная методу конечных элементов, под авторством И. Чанга и О. Зенкевича.

4.  Математическая теория метода появилась лишь в 70-х годах, ее зарождение прослеживается в трудах таких ученых, как И. Бабушки, Р. Галлагер, Ж. Дек-лу, Дж. Оден, Г. Стренг, Дж. Фикс. Весомый вклад был внесен и российскими учеными. Так, например, В.Г.Корнеев сопоставил математические сущности метода конечных элементов и вариационно-разностного метода и указал на их совпадение. Над той же темой трудился Л.А.Розин. А А.С.Сахаровым была разработана моментная схема КЭ.

5. Последнее время, особенно последние десятилетия, характеризуются активным развитием и применением метода конечных элементов для расчета динамики конструкций, оптимизации проектирования и учета нелинейного поведения.

Суть метода конечных элементов

Перед началом выполнения расчета конструкции следует представить ее в виде, понятном электронному мозгу, то есть компьютеру. И так как компьютер может оперировать только с цифрами, то и конструкция должна быть представлена именно в цифровом варианте. Таким образом, нужно создать математическую модель, которая будет не только полностью соответствовать рассчитываемой конструкции, но и состоять только из цифр. Целью работы будет решение этой математической модели и определение неизвестных.

Суть метода конечных элементов заключается в разбиении всей области, занимаемой конструкцией, на некоторое количество малых подобластей с конечным размером. Эти подобласти носят название конечных элементов, а само разбиение называется дискретизацией.

Форма конечных элементов будет зависеть от типа самой конструкции и характера деформации. Например, конечными элементами в расчете стержневых конструкций (ферм, балок или рам) будут участки стержней, при расчетах двумерных континуальных систем (пластин, плит или оболочек) — прямоугольные или треугольные подобласти, а при расчете трехмерных конструкций (массивов или толстых плит) — подобласти в виде тетраэдров или параллелепипедов. Но в отличие от настоящей конструкции в такой дискретной модели связывание конечных элементов происходит только в отдельных узлах (точках) некоторым известным количеством узловых параметров.

Функционалом энергии всей конструкции при дискретизации будет алгебраическая сумма отдельных функционалов конечных элементов, и для каждой подобласти должен быть задан независимый от других закон распределения требуемых для решения функций. С помощью этих законов возможно выражение перемещений (искомых непрерывных величин) в пределах заданного конечного элемента через значения величин в конечных точках.

Число узлов и число их возможных перемещений (степень свободы) для конечного элемента могут варьироваться, но меньше минимального количества, необходимого для рассмотрения состояний конечных элементов под действием напряжения или деформации в данной принятой модели, их быть не должно. Степени свободы конечных элементов определяются числом независимых перемещений во всех их узлах. Степень свободы всей рассчитываемой конструкции и, как следствие, алгебраический порядок уравнений системы будет определяться суммированием числа перемещений всех известных ее узлов. Исходя из того, что основные неизвестные в расчете методом перемещений — искомые узловые перемещения, то понятия степени свободы конечных элементов и конструкции целиком становятся особо важными в методе конечных элементов.

Способ дискретизации рассматриваемой области, количество конечных элементов, число их степеней свободы, а также форма используемых приближенных функций оказывают непосредственное влияние на точность расчета всей конструкции. Таким образом, метод конечных элементов, как наиболее алгебраический, помогает не только при расчете отдельных строительных конструкций, но и в целом при решении строительных задач.

Пример расчета континуальных двумерных конструкций

Рассмотрим пример расчета континуальных двумерных конструкций (пластин или плит) методом конечных элементов, которое заключается в выполнении следующих этапов:

1. Исследуемая область с помощью сетки дискредитации разделяется на определенное количество элементов, которые, как предполагается, в результате будут взаимосвязаны в итоговом количестве узловых точек, располагающихся на границах элементов. Неизвестными параметрами решаемой задачи и будут выступать обобщенные перемещения этих узловых точек, а их число будет неразрывно связано с известным числом их степеней свободы.
2. Вводятся функции для характеристики обобщенных перемещений, которые будут определять распределение в каждом из элементов через обобщенные перемещения узловых точек. Также эти функции будут определять поля деформации и усилий внутри элементов, и на границах в том числе.
3. Осуществляется построение матрицы жесткости на основе принципа допустимых перемещений. Матрица должна уравновешивать распределенную нагрузку и усилия на границах элементов, выражающиеся через обобщенные перемещения узловых точек.
4. Формируется матрица жесткости всей конструкции на основе матриц жесткости отдельных элементов. Этот этап работы сводится к простому решению полученной системы алгебраических уравнений, в которой на основе выбранных параметров перемещения узловых точек определяется состояние всей строительной конструкции относительно деформации и напряжения.